Also die Stichproblenlänge ist lang genug.
Das kann man so testen:
Wenn Delta = n*p(1-p) > 9
gilt ist sie lang genug.

n ist die Stichprobelänge im Test, in dem Fall die 400 gezählten Spiele und p ist eine Hilfsgröße die so definiert ist : p=k/n
k sind hierin die gezählten Erfolge im Test also das 93 mal 3 Buben haben un n die oben bereits geschriebene Stichprobelänge von 400 Spielen.

p=93/400 und n=400 ergibt ein
Delta = n*p(1-p) =400*(93/400)(1-93/400)=71,4 > 9
Da 71,4 größer 9 ist ist die Stichprobenlänge für diesen Test lang genug.

Angenommen man kennt nun die wahre Wahrscheinlichkeit von 88/400= 0,22 dafür, dass einer 3 Buben bekommt Nicht könnte man us dem Test 400 mal zählen mit 93 Treffern in welchem Bereich sich die Wahre Wahrscheinlichkeit zu 99% befinden muss.

Dazu braucht man aus ner Tabelle die Konstante c= 2,576 fürs Quantil 0,995.

Der wahre Wert ist dann im Intervall p+-Z zu finden, wobei Z=c/n*wurzel Delta ist.
p war oben 93/400

Z wäre hier 2,576/400* Wurzel 71,4=0,054

Damit ist p+Z=93/400+0,054=0,29
Damit ist p+Z=93/400-0,054=0,18

Also zu 99% ist der wahre Wert zwischen 0,18 und 0,29 laut dem Zähltest.

Und er ist auch drin, da ja 0,22 zwischen 0,18 und 0,29 liegt.

Man kann sogesehn diesen Zählttest als erfolgreich ansehn, für die Bubenzahl.

Man kann auch ausrechnen für nen Zähltest "Anzahl für 3 Buben bekommen in n Spielen (=Stichprobelänge) ", in welchem Bereich man mit seinem Zählergeniss landet, wenn der Erwartungswert für 3 Buben bekommen p=0,22 bekannt ist.

Man kann den Erwartungswert als Trefferwahrscheinlichekit interpretieren.

Der Mittelwert an Treffern ergibt sich dann p*Stichprobelänge.
Die Standartabweichung von diesem Mittelwert ist dann Wurzel( n*p*(1-p))

In 99,7% der Tests ist dann das gezählte Ergebniss 3 Buben zu haben im Bereich Mittelwert + oder - 3 fache Standartabweichung.

Z.b. wenn man 500 Spiele zählt wäre der Mittelwert 500*0,22 =110 mal bekommt in den 500 Spielen einer 3 Buben.

Die Standartabweichung wäre in dem Fall
Wurzel ( 500*0,22*(1-0,22))=9,3

3 fache Standartabweichung: 3* 9,3= 27,8

Man würde beim Zählen von 500 Spielen also zu 99,7 % immer im Bereich von 110 plus oder Minus 27,8 Buben in den 500 Spielen landen.

Also im Bereich von 82 bis 138 mal hat einer 3 Buben bei 500 Spiele zählen zu 99,7 % Sicherheit.
Anders ausgedrückt in
0,269 9796% der Zählungen liegt man außerhalb von dem Bereich 82 bis 138 mal wenn man 500 Spiele zählt.
Noch anders ausgerückt:
Wenn man 1000 mal jeweils 500 Spiele zählt kommt 997 mal eine Zahl einer hat 3 Buben zwischen 82 bis 138 in den jeweils 500 Spielen raus und 3 mal hat man unter 82 oder über 138 gezählte Spiele mit einer hat 3 Buben.

Man kann natürlich noch sicherer gehen:
Würde man statt der 3 fachen Standartabweichung ne 7 fache nehmen hätte man ne
99,9999999997440% Wahrscheinlichkeit als Sicherheit, dass man in dem Bereich Mittelwert plus oder minus 7 fache Standartabweichung landet.

Man hätte als 7 fache Standartabeiweung 68 und wäre im Breich von 42 bis 178 Spieleanzahl einer hat 3 Buben in 500 Spielen.

Man wäre dann nur noch bei 0,000 000 000 256% aller Zählungen außerhalb von dem errechneten Bereich.

Grob:
In 100 Millionen mal jeweils 500 Spiele zählen würde es da nicht vorkommen, dass man unter 42 oder über 178 "einer hat 3 Buben " in den 500 Spielen kommt.

Abheben !

Es waren 93 Spiele dabei, in denen einer der Spieler drei Buben auf die
Hand kriegt (Erwartungswert: 88 Spiele, die Abweichung könnte darauf
zurückzuführen sein, dass die eingepassten Spiele fehlen und Spiele mit
drei Buben weniger häufig eingepasst werden).

Die Abweichung ist wie oben schon erklärt deswegen vorhanden, weil es immer eine Abweichung vom Mittelwert( Erwartungswert gibt).
Der genaue Mittelwert wird nie erreicht werden, egal wieviele Spiele man zählt, sondern es wird immer eine Abweichung geben.

Wenn man 100000 Spiele zählt wäre der Erwartungswert 3 Buben bekommen mit den p=0,22 eben 22000 Spiele.

Aber man wird im im Bereich von 21707 bis 22293 Spielen zu 99,7 % landen wenn man die Spiele mit 3 Buben zählt.

Und zu 0,3 % landet man n bischen drunter oder drüber.

Man hat hier rechnerisch dann mit 100000 Spiele zählen
21707/100000=0,21707 und 22293/100000=0,22293
im Vergleich zu nur 500 Spielen zählen mit
82/500=0,164
138/500=0,276

Daher man ist schon erheblich näher an den 0,22 dran, bei mehr Spielen.

Man wird die genauen 0,22 aber nie exakt erreichen wegen den Nachkommastellen.

Wenn man noch mehr zählt käme dann sowas wie 0,22000000001 oder so mal raus..

geschenkt

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